Rechteck quadrat

Mit Lineal und Zirkel soll aus einem gegebenen Rechteck ein Quadrat mit gleich großer Fläche gezeichnet werden. Im Gegensatz zur Quadratur des Kreises, die unlösbar ist, ist die .

Rechteck

In der Geometrie ist ein Rechteck (ein Orthogon) einer ebenesViereck, dessen Innenwinkel alle rechte Winkel sind. Es ist ein Spezialfall des Parallelogramms und damit auch des Trapezes. Ein Sonderfall des Rechtecks ist das Quadrat, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

In der Topologie ist ein Rechteck eine Mannigfaltigkeit mit Rand, genauer eine Mannigfaltigkeit mit Ecken.

Eigenschaften

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Das Rechteck kann charakterisiert werden als

Formeln

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Die Formel für die Dauer der Diagonalen beruht auf dem Satz des Pythagoras. Der Umkreisradius ergibt sich durch Halbierung der Dauer der Diagonalen.

Um ein Rechteck zu konstruieren, mühelen zwei Größen gegeben sein. Häufig sind entweder beide Seitenlängen gegeben, oder eine der beiden Seitenlängen und die Länge der Diagonalen.

Optimierungsprobleme und das Quadrat

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Es gibt verschiedene Optimierungsprobleme für Rechte. Sucht man ein Rechteck, das bei

  • gegebener Dauer der Diagonale oder gegebenem Flächeninhalt des Umkreises den maximalen Umfang
  • gegebener Länge der Diagonale oder gegebenem Flächeninhalt des Umkreises den maximalen Flächeninhalt
  • gegebenem Umfang die minimale Länge der Diagonale oder den minimalen Flächeninhalt des Umkreises
  • gegebenem Umfang den maximalen Flächeninhalt
  • gegebenem Flächeninhalt die minimale Länge der Diagonale oder den minimalen Flächeninhalt des Umkreises
  • gegebenem Flächeninhalt den minimalen Umfang

hat, dann ergibt selbst als Lösung jeweils das Quadrat.

Jeweils zwei die sechs Optimierungsprobleme sind im Prinzip dieselbe Fragestellung mittels anderen gegebenen Größen, sodass es eigentlich nur drei verschiedene Optimierungsprobleme sind. Für die genannten Optimierungsprobleme ist das Quadrat das gesuchte Rechteck. Das gilt selbstverständlich nicht für alle Optimierungsprobleme.

Dass die Optimierungsprobleme für die Länge der Diagonale und den Flächeninhalt des Umkreises jeweils dieselbe Lösung haben, ist offensichtlich, weil der Flächeninhalt des Umkreises eine stetige und streng monoton steigende Funktion mit der Funktionsvariablen ist.

Ist zum Beispiel bei gegebener Länge der Diagonale das Rechteck ABCD mit dem größten Flächeninhalt gesucht, dann hilft es, den Umkreis zu betrachten. Die Diagonale AC ist nach dem Satz des Thales die Durchmesser des Umkreises.

Das Rechteck besteht aus den rechtwinkligen Dreiecken ABC und CDA. Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist dann am größten, wenn das Höhe des Punkts B auf der Seite AC am größten ist. Das ist genau dann die Fall, wenn die Seiten AB und BC gleich lang sind, das Dreieck also auch gleichschenklig ist. Ebenso ist der Flächeninhalt des Dreiecks CDA genau dann am größten, wenn die Seiten CD und DA gleich lang sind. Der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD ist also genau dann am größten, wenn alle 4 Seiten gleich lang sind, also wenn es ein Quadrat ist.

Eine andere Möglichkeit ist, den Flächeninhalt mit Ungleichungen abzuschätzen.

Ein Rechteck mittels den Seitenlängen und hat die Diagonalenlänge und den Flächeninhalt . Das Quadrat mit der Seitenlänge hat dieselbe Diagonalenlänge und den Flächeninhalt. Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel gilt für alle positiven Seitenlängen und und Gleichheit genau dann, wenn ist. Daraus folgt, dass das Quadrat das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt ist.

Rechteckgitter

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Das Rechteckgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten in der zweidimensionaleneuklidischen Ebene. Diese Punktmenge kann formal als die Menge

geschrieben werden, wobei die positiven reellen Zahlen, die Abstände zwischen benachbarten Punkten sind. Das Rechteckgitter entsteht durch 2 Parallelstreckungen (siehe Affine Abbildung) aus dem Quadratgitter.[1]

Dieses Rechteckgitter ist achsensymmetrisch, drehsymmetrisch und punktsymmetrisch. Außerdem ist es translationsymmetrisch für alle Vektoren mit bestimmten Längen, die parallel zu den 2 Koordinatenachsen verlaufen, nämlich die unendlich vielen Vektoren , , wobei , ganze Zahlen sind und , die 2 Einheitsvektoren im zweidimensionalen eudklidischen Vektorbereich.

Wird eine geometrische Figur in der Ebene in einem Quadratgitter platziert und dann durch Parallelstreckungen modifiziert, sodass ein Rechteckgitter entsteht, dann entstehen abhängig von der Art und Ausrichtung dieser geometrischen Figuren andere geometrische Figuren:

Goldenes Rechteck

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Rechtecke mittels der Eigenschaft für die Seitenlängen a und b nennt man Goldene Rechtecke. Als Seitenverhältnis ergibt selbst der Goldenen Schnitt, also .

Perfektes Rechteck

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→ Hauptartikel: Perfektes Rechteck

Ein Rechteck heißt perfekt, falls man es mit Quadraten lückenlos und überschneidungsfrei bedecken kann, wobei alle Quadrate unterschiedlich groß sind. Es ist nicht einfach, eine solche Parkettierung zu entdecken. Eine solche Zerlegung eines Rechtecks mit den Seitenmaße 32 und 33 in 9 Quadrate wurde 1925 von Zbigniew Moroń gefunden. Sie besteht aus den Quadraten mit den Seitenlängen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 18.[2][3]

Ein weiteres Beispiel eines perfekten Rechtecks – ebenfalls von Zbigniew Moroń – hat die Seitenlängen 47 und 65. Es wird überdeckt von 10 Quadraten mit den Seitenmaße 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 und 25.[2]

Spiralen

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Eine unendliche Folge von ineinander liegenden Rechtecken, die von jeweils vier kongruentenrechtwinkligen Dreiecken eingeschlossen sind, lassen sich so wie in der Abbildung anordnen, in der die ersten 12 Folgenglieder farbig dargestellt sind. Dadurch entstehen vier unendliche konvergente Reihen aus ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken, anderen Grenzwerte identisch sind und jeweils spiralförmig die gesamte Fläche des großen Rechtecks ausfüllen. Die Flächenmaßzahlen die mittleren Rechtecke konvergieren hierbei gegen Null.

Bezeichnet man die Seitenlängen des Ausgangsrechtecks mit a und b, so hat jede der vier Spiralen die Flächenmaßzahl .[4]

Weblinks

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Einzelnachweise

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  1. ↑Wolfram MathWorld: Cubic Lattice
  2. ↑ abZbigniew Moroń: Darstellung der Rechtecke nach Moroń. Abgerufen am 27. März 2021. 
  3. ↑Eric W. Weisstein: Perfect Square Dissection. In: MathWorld (englisch).
  4. ↑Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seite 78