Lineare funktionen steigung bestimmen

Steigungswinkel berechnen einfach erklärt

Bei einer linearen Funktion kannst du stets den Steigungswinkel berechnen. Er gibt dir die Steigung in Grad an und ist definiert, als der positive Winkel, den die Gerade mit der x-Achse einschließt. Du musst zur Berechnung aber nicht den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse kennen, sondern kannst stattdessen auch den Winkel in jedem Steigungsdreieck betrachten. 

Um den Steigungswinkel zu berechnen, verwendest du immer eine dieser beiden Formeln:

Dabei muss . Dabei ist der Arcustangens gerade die Umkehrfunktion der Tangensfunktion .

Steigungswinkel berechnen – Gerade

Wie du den Steigungswinkel berechnen kannst und auf welche Besonderheiten du bei bestimmten Geraden achten musst, zeigen wir dir hier. Dabei unterteilen wir in Geraden mit positiver und negativer Steigung:

Steigungswinkel berechnen: Gerade mit positiver Steigung

Für Geraden mit positiver Steigung siehst du die Situation oben im Bild dargestellt. Hast du hier die Funktionsgleichung gegeben, kannst du den Steigungswinkel berechnen mittels

Anders rum kannst du, wenn du nur den Winkel geliefert hast, daraus auch direkt die Steigung bestimmen und das Ergebnis graphisch überprüfen. 

Beispiel 1

Gesucht ist die Funktionsgleichung  einer linearen Funktion durch den Punkt mit dem Steigungswinkel . Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden ist 

wobei wir die Steigung mit berechnen können als

Jetzt mühelen wir nur noch den y-Achsenabschnitt bestimmen. Dazu setzen wir und den Punkt ein

Damit lautet die gesuch Funktionsgleichung .

Steigungswinkel berechnen: Gerade mit negativer Steigung

Betrachten wir nun die fallenden Geraden, also diejenigen mit negativ Steigung, an einem Beispiel. Sei . Wir probieren, den Steigungswinkel wie bisher zu berechnen

. 

Hier stoßen wir insofern auf ein Problem, dass die Größe eines Winkels nicht negativ sein kann! 

Mit Blick auf den Funktionsgraphen siehst du sofort, dass wir hier nicht (grün), sondern den türkisen Winkel berechnet haben.Um den grünen Winkel an berechnen, müssen wir daher zu noch addieren. Damit ergibt sich hier die Formel:

Für unser Beispiel erhältst du somit den Winkel

Sonderfälle

Einen Sonderfall beim Steigungswinkel berechnen stellen hier das waagerecht im Koordinatensystem liegenden Geraden dar. Sie haben die Steigung und daher die Funktionsgleichung . Wenn die Steigung Null ist, musst du nicht explizit den zugehörigen Steigungswinkel  berechnen. Hier ist immer Das siehst du auch direkt hier im Bild an der blauen Geraden.

Auch bei den senkrechten Geraden musst du vorsichtig bestehen. Sie stehen – wie du im Bild am Graphen der lilalen Geraden siehst – parallel zur y-Achse und haben somit einen Steigungswinkel von . Die Steigung kannst du aber nicht mit die Formel berechnen, da sie sozusagen „unendlich“ ist. Wenn du versuchst, in deinen Taschenrechner einzugeben, wird er dir eine Fehlermeldung anzeigen. Das liegt daran, dass der Tangens definiert ist als

und ist. Du würdest somit „durch Null teilen“, was nicht erlaubt ist. 

Schnittwinkel mit den Koordinatenachsen

Beim Steigungswinkel berechnen, kannst du beispielsweise auch die Schnittwinkel der Funktion mit der x-Achse und mit die y-Achse bestimmen. Der Schnittwinkel bezeichnet immer den kleinsten Winkel, den zwei Geraden miteinander einschließen. 

Betrachten wir zuerst die Schnittwinkel mit der x-Achse:

Den Schnittwinkel mit der y-Achse kannst du leicht bestimmen, wenn du bedenkst, dass die y-Achse im -Winkel auf der x-Achse steht. Damit schliesst und mit dem Ursprung ein rechtwinkliges Dreieck einer, weswegen du über die Winkelsumme im Dreieck berechnen kannst. Es gilt

.

Diese Formel gilt sowohl für steigende als auch für fallende Gerade. 

Beispiel 2

Gesucht sei die Winkel , den im obigen Bild die Gerade mit der y-Achse einschließt. Dazu bestimmen wir zuerst wie den orangen Winkel . Mit der vorhergehend Formel berechnen wir nun als .

Beispiel Straße: Neigungswinkel berechnen

Eine klassische Anwendung ist beispielsweise die Berechnung des Bremswegs eines LKWs. Das schauen wir unser an einem Beispiel genauer an:

Auf einer Gebirgsstraße mahnt ein Straßenschild vor einer Steigung von . Wir können die Straße näherungsweise als fallende Gerade veranschaulichen und interessieren uns nun für ihren Steigungswinkel. Dazu müssen wir zuerst ihre Steigung bestimmen, indem wir die Prozentangabe umrechnen. Für berechnen wir nun .