Bernoulli mindestens höchstens

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, der ein mehrstufigen Zufallsexperiment zugrunde liegt. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (einstufiges Experiment, .

6.3 Bernoulli-Formel und Binomialverteilung

1. Ein Glücksrad trägt verschieden große Felder. Der Mittelpunktswinkel von G sei 54°.

Als Treffer wird gewertet, wenn das Glücksrad nach dem Drehen auf dem Feld G stehen bleibt. Es ist also

.

Es wird n = 10 mal umgedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 Treffer erzielt werden (Ereignis E)?

  • Die 4 Treffer können in den Versuchen 1 bis 4 erzielt werden: E1 = TTTTNNNNNN. Da die Versuche voneinander unabhängig sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür

    • .
  • Die 4 Treffer und die 6 Nieten können aber auch in andere Reihenfolge auftreten, z.B.

    • NNTNTTNNTN,
    TNNNTNTNNT,
    usw.
    Zu fragen ist also: Wie zahlreich Möglichkeiten gibt es, dass von 10 Versuchen genau 4 das Ergebnis T haben. Anders formuliert: An wie viele Weisen kann man aus der Masse der 10 Plätze, auf denen die Versuchsausgänge notiert werden, 4 Plätze herauszugreifen? Dies ist aufArten möglich.
  • Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich also:

    • .
2. Die Überlegungen zum Beispiel können leicht verallgmeinert werden. Bei einem Bernoulli- Experiment mit der Trefferwahrscheinlichkeit p und die Nietenwahrscheinlichkeit q = 1 – p ist das Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer und n – k Nieten in einer Bernoulli-Kette der Länge n gegeben durch die Bernoulli-Formel

3. Die Trefferanzahl in einer Bernoulli-Kette der Länge n werde mit X bezeichnet: X = 0, 1, 2, ..., n. Das Wahrscheinlichkeit für k Treffer ist nach der Bernoulli-Formel

.

Jeder Trefferanzahl ist ihre Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Eine solche Zuweisung bezeichnet man allgemein als eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die vorhandene Wahrscheinlichkeitsverteilung

heißt Binomialverteilung.

Beispiel:

Das Beispiel des Tetraeder-Wurfs aus dem vorigen Abschnitt (Bernoulli-Kette) führt auf die Binomialverteilung. In die folgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten für k Treff zusammengestellt.
 

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten B(5; 0,25; k) ergibt – wie zu erwarten war – 1.

Zur graphischen Darstellung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden oft Histogramme verwendet. Wenn die Säulenbreite 1 gewählt wird, ergibt selbst folgendes Bild für die Wahrscheinlichkeitsverteilung B(5; 0,25).

4. Das Berechnung der Werte B(n ; p ; k) kann rekursiv erfolgen:

also:

.

Unter Verwendung dieser Rekursionsformel ergeben selbst für die Binomialverteilung B(10 ; 0,15 ) des Glücksrad-Beispiels folgende Werte:
 
 

k
B(10 ; 0,15 ; k)
0
0,19687
1
0,34743
2
0,27590
3
0,12983
4
0,04010
5
0,00849
6
0,00125
7
0,00013
8
0,00001
9
10

5. Die folgenden Histogramme zeigen Eigenschaften die Binomialverteilung.

a) festes n:

B(10 ; 0,2 ; k)


B(10 ; 0,4 ; k)

B(10 ; 0,6 ; k)

B(10 ; 0,8 ; k)

1) Das Maximum (Stelle mit die größten Wahrscheinlichkeit) wandert bei festem n mit wachsendem Parameter p immer weiter nach rechts.

2) Von p = 0,1 bis p = 0,5 wird das Verteilung bei festem n breiter und niedriger, von 0, 5 bis 0,9 wieder schmaler und höher.

b) festes p:

B(10 ; 0,4 ; k)

B(50 ; 0,4 ; k)

B(150 ; 0,4 ; k)

3) Das Maximum wandert bei festem p mit wachsender Zahl n immer weiter nach rechts.

4) Die Verteilung wird bei festem p mit wachsender Zahl n breiter und niedriger.

6. In dem Glücksrad-Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, genau 4 Treffer zu erzielen

.

Die Ereignisse „Trefferzahl gleich i“, kurz X = i, sind unvereinbar, daher gültig für die Wahrscheinlichkeit, höchstens 4 Treffer zu erzielen

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 und höchstens 5 Treffer an erzielen, ist

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten in einem bestimmten Treffer-Intervall ist also von besonderer Bedeutung. Man bestimmt daher:
 

Definition: Die Funktionheißt kumulative Verteilungsfunktion der Binomverteilung B(n ; p).

Beispiel: F(10 ; 0,15)

Für p ist auch die Eingabe von Brüchen zulässig, z.B. 1/6.

Binomialverteilung

Kumulative Verteilungsfunktion

Übungen

1. Bei einer als 2. Wahl angebotenen Sorte elektronischer Bauelemente ist 1/6 Ausschuss. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalten 10 zufällig der Massenproduktion entnommene Bauelemente
a) genau zwei Fehlstücke,
b) bis zu zwei Fehlstücke?

2. Die Ausschusswahrscheinlichkeit eines mit einer bestimmten Maschine hergestellten Massenartikels sei erfahrungsgemäß 1%. Die Gegenstände werden in Packungen an je 200 Stück versandt. Wie groß ist das Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer Packung höchstens einer Ausschuss-Stück befindet?

3. Bei einer Prüfung wird ein „multiple-choice-Test“ mit Fragen angewendet. Es werden 5 Fragen gestellt. Zu jeder der Fragen sind in zufälliger Anordnung eine richtige und zwei falsche Antworten gegeben. Das Prüfung gilt als bestanden, wenn bei mindestens 4 Fragen die richtige Antwort angekreuzt ist. Ein unvorbereiteter Prüfling wählt seine Antworten rein zufällig aus. Mittels welcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Prüfung?

4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 5-maligen Würfeln mehr als 2 „Sechsen“ zu erzielen?

5. Bei der Sortierung von Flaschen im Glasmüll sind 40% noch brauchbar. Es werden 10 Flaschen ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) sind genau 3 Flaschen brauchbar?
b) sind alle 10 Flaschen brauchbar?
c) ist keine Flasche brauchbar?
d) ist mindestens 1 Flasche brauchbar?
e) sind höchstens 2 Flaschen brauchbar?